湖北 周攀波

在小学教材中，整个面积概念的教学，都只出现了长和宽都是自然数的情况，长与宽是分数、小数和无理数的衔接是空缺的。这对于建构完整的‘面积’概念体系，是值得反思的。因此，我们在学生累积 20 平方分米的过程中，让学生发现长可以更长，可以是分数、小数等。从度量的意义来说，其实是用更小的面积单位去度量。从结构学上来说，是为了给学生建构完整的 “面积” 概念体系。同时体会用公式计算长方形面积公式的价值。

在本节课中，始终围绕 “面积” 概念的内涵，让学生充分的度量，理解长方形的面积，其实是包含多少个面积单位。正如张奠宙老先生所说：面积其实就是给指定的区域赋值。现代数学对于面积的定义中，面积具胡‘有限可加性’，运动不变性和正规性。都在本节中得到了充分的体现，建立了发展了学生的量感。

对面积本质的理解，始终贯穿在教学设计的每一处，真正站在学生立场去思考和教学。帮助学生成功建构了长方形的面积模型。

潘老师在教学面积一课中，为学生提供了丰富的体验。量一量，画一画，涂一涂、剪一剪、拼一拼等多种方式帮助学生理解面积的含义，并通过对比观察，建立面积的表象并比较，体会图形的面积是一个数量概念。同时积累了度量的直接经验，发展了量感。

很喜欢李老师的这段理由和设计：“学者张齐华曾指出；长度单位的学习，通常源自这样的一种需要，即解决新的问题时，原有的单位无法满足需求。需要一种新的单位的介入。” 因此教师设计了 2 支铅笔测量活动。学生发现第 2 支铅笔的长度，用之前学过的厘米无法准确表示出来。比 6 厘米多一些，多和几小格。学生对量的感知形象又直观。同时体会了毫米产生的必要。此时，原有对厘米的量感就自然而然地过渡到了对毫米的感受。

通过张老师的两次试教中，我们发现学生在课前对长方形的面积公式的理解存在三种认识：长方形的面积等于长乘宽、长方形的面积等于长加宽，长方形的面积等于长加宽的和乘二。可以让学生把三种‘认识’都呈现出来。然后交流讨论，哪一种可以排除？为什么？这样的设计，就真正做到了以学为中心。所有的问题，都来自于学生，问题的解决，也由学生去实践。

张老师的设计关注数学思想方法．引导学生回归数学学习的原点。面积公式作为一种高度抽象的数学模型．其建构的过程从来就是一个复杂的过程．期间蕴含着丰富的数学思想方法如在学生理解 “长 X 宽” 的意义中．通过对 “长度” 与 “面积单位的个数” 之间的对应性．理解面积公式的意义．体现了对应思想的教学价值。又如在平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式推导时．转化思想成为探究过程的主导思想正是这一系列的数学思想方法在探究公式中的应用．使学生的数学思也变得充分而扎实了。

值得一提的是，当教师出示了 3 个不同面积大小不一的长方形面积之后，可否让学生直接比较，长方形的面积 大小与长方形的什么有关？形成表象后，学生大胆猜测再验证操作呢？这样设计 —— 就可以做实直接计量面积的比较活动。为学生发现关系提供引导，让面积公式的学习真正成为学生的需要。

面积公式教学作为 “空间与图形” 内容．积累充分的感性经验．发展量感．是一个重要的目标。引导学生借助动手操作、空间想象等多元学习方式进行探究学习．不仅是帮助学生准确建构数学模型的重要手段．而且有利于促进学生从模型探究回归到意义理解．找寻两者之间的联结点．从而完整建构长方形面积与面积计算公式之间的联系。如面积的大与小、一维层面的 “长度” 与二维层面的 “面积单位的个数” 的对应性、图形的转化过程等．都需要通过动手操作或空间想象等方式来实现。只有当学生对平面图形外在形式的变与面积公式内在本质的不变之间的关系有了清晰理解和把握之后．其对数学模型的理解才是整体的、内在的。

作为平面图形面积计算教学的起始课．长方形面积计算中 “算面积就是算图形所包含的面积单位的个数” 的思想．支撑着长方形面积计算模型的建构过程这对后续其他各种平面图形的面积公式教学有着指导性价值．它是沟通计算技能与面积概念本质的重要依据。因此，我认为第一稿设计中的数方格，让学生感受图形面积的大小就是包含有几个这样的面积单们，有学生对面积单位个数累加的直观感受，也回归了面积的本质。可以保留。只是可以再有趣一点，开课就能调动学生的兴趣了。

对应的思想是一重要的数学思想方法，它通过了一定的关系在原本相对独立的两个集合之间建立了意义联系，从而可以通过一个量的变化推测出另一个量的变化。其中长方形有的面积公式 是一个函数关系式。其中的长、宽和面积三个量之间存在着相互关联的对应关系。如果把长作为常量，那么面积和宽存在正比例关系。从直观上可以看出，当长不变时，宽变化了，面积相应扩大或缩小。当宽不变的时候，面积和长变化情况也一样。如果在课中加入此环节，学生是不是可以感受三个量的变化情况，有利用 学生量感的发展呢？

在讨论中我们想到，既然长方形的面积可以用面积单位去度量，那为什么还要推导和研究出计算公式呢？除了有公式之后计算比较简便，这个长方形面积公式的价值应该不仅仅是方便而已。如果能让学生感受到长方形的面积公式的适用性及作用，是适合一切长方形面积公式的计算的。同时，长方形面积 公式也是三角形、梯形、圆形等平面图形面积公式推导的基础。那么，对学生之后的学习也是大有裨益的。那么，长方形面积公式的研究方法，是否也可以成为后期学习其他图形面积的借鉴呢？一点思考。

解决了 “二维” 和 “一维” 的直接向 “间接” 度量的问题后，其实学生的量感就在层层递进的测量活动中建立起来了。那么，在后面的环节设计中，应该如何进一步发展量感呢？设计有层次的练习拓展，就显得非常重要了。量感看不见，摸不着。但是可以在丰富的活动中去体验和感受。我想到可以 “猜一猜、估一估、想一想” 等活动，帮助学生发展量感。

用为什么 “长方形的面积＝长 x 宽”？作为大问题，引导学生展开测量研究，交流讨论。可以避免一节课显得零碎，缺乏整体性，也有利于学生量感的建立。但对于三年级的孩子来说，还应该把这个大问题化解为几个次大问题，让学生的测量和研究，交流和表达的有所依托。因此，还应该想到长方形的 “长” 和 “宽” 其实就是什么？对应着一行有几个或有几行。这几者之间的关系应该让学生充分的体验和感受。那么多次 “度量” 就很有必要。但每次度量的侧重点应该有所不同。

课前估计学生多半知道长方形的面积公式计算，但可能只有很少一部分学生知道为什么？也就是长方形面积公式的推导过程是不清楚的。所以本节课的一个重要任务是让学生经历长方形面积公式的推导过程。在张老师的设计中，让学生小组合作研究 ，并分组汇报。我发现学生在汇报的时候，不知道怎么说。在小组内交流的时候，也不知道怎么说。可能是导学单的设计指向性还不太明确的原因。需要后期再调整。

真正看学生的‘量感’是否建立，其实最简单直接的办法可以检测，就是估测。如果学生心中量感建立得好，那么给出一个长方形，学生就能大致估量长方形的面积应采用哪个相应的面积单位 ，这个长方形中大约含有多少个这样的面积单位，也就是这个长方形的面积大约是多少？这个过程，如果仅依靠本节课来完成，几乎是不可能的。因为量感建立可能稍简单一点。但量感建立的好不好，而需要一个长期努力的过程。那么，在这节课后，我们能做哪些事情帮助学生建立和发展量感，是需要认真思考的。

学生在由 “二维” 面积单位的直接度量逐渐过渡到 “一维” 线的一一对应时，因为脱离了直观，加入了 “想象度量”，对一部分稍微困难的学生，是有难度的。建议当有学生交流到看到一厘米的线，就想到可以放 1 平方厘米的小方格，把学生在脑海中想象度量的过程，可以用 PPT 动态的呈现，让学生直观感知这个过程 。由面到格到线段格再到线段或直接给出长度，可能学生就会学得比较轻松了。

采用学习单让学生在课前自主测量 ，留下度量的痕迹。在实际测量活动中建立量感，并逐渐由 “二维” 面积单位的度量转化为 “一维” 线的‘间接度量’，真正让学生理解了长方形的面积，其实就是含有多少个面积单位 。只是在这个建立的过程，并不顺畅。而且学生的表达也不是特别的清晰，是后期教学设计中需要考虑的问题。本课用用多种方式 建立和发展量感，是非常可取的。比如 “量一量”“画一画”“说一说”“算一算”“想一想” 等活动，发展了学生的量感